（五）多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的幾何意義 二元函數(shù)的極限和連續(xù) 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念及求法 全微分存在的必要條件和充分條件 多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法 高階偏導(dǎo)數(shù)的求法 空間曲線的切線和法平面 曲面的切平面和法線 方向?qū)?shù)和梯度 二元函數(shù)的泰勒公式 多元函數(shù)的極值和條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

考試要求

1. 理解多元函數(shù)的概念、理解二元函數(shù)的幾何意義。

2. 理解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及基本運(yùn)算性質(zhì)，了解二元函數(shù)累次極限和極限的關(guān)系 會(huì)判斷二元函數(shù)在已知點(diǎn)處極限的存在性和連續(xù)性 了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3. 理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念 了解二元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在及連續(xù)的關(guān)系，會(huì)求偏導(dǎo)數(shù)和全微分，了解二元函數(shù)兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件 了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4. 熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。

5. 熟練掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。

6. 理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。

7. 理解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。

8. 了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

9. 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值、最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

10. 了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

（六）多元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

二重積分、三重積分的概念及性質(zhì) 二重積分與三重積分的計(jì)算和應(yīng)用 兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算 兩類曲線積分之間的關(guān)系 格林（Green）公式 平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 已知全微分求原函數(shù) 兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算 兩類曲面積分之間的關(guān)系 高斯（Gauss）公式 斯托克斯（Stokes）公式 散度、旋度的概念及計(jì)算 曲線積分和曲面積分的應(yīng)用

考試要求

1. 理解二重積分、三重積分的概念，掌握重積分的性質(zhì)。

2. 熟練掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)），掌握二重積分的換元法。

3. 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。熟練掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。

4. 熟練掌握格林公式，會(huì)利用它求曲線積分。掌握平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。會(huì)求全微分的原函數(shù)。

5. 理解兩類曲面積分的概念，了解兩類曲面積分的性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系。熟練掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法。

6. 掌握高斯公式和斯托克斯公式，會(huì)利用它們計(jì)算曲面積分和曲線積分。

7. 了解散度、旋度的概念，并會(huì)計(jì)算。

8. 了解含參變量的積分和萊布尼茨公式。

9. 會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、曲面的面積、物體的體積、曲線的弧長(zhǎng)、物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）。

（七）無(wú)窮級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂與發(fā)散的概念 收斂級(jí)數(shù)的和的概念 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法 交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念 冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開(kāi)區(qū)間）和收斂域 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法 泰勒級(jí)數(shù) 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式在近似計(jì)算中的應(yīng)用 函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù) 狄利克雷（Dirichlet）定理 函數(shù)在[-l，l]上的傅里葉級(jí)數(shù) 函數(shù)在[0，l]上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。

考試要求

1. 理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件

2. 掌握幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散情況。

3. 熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的各種判別法。

4. 熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。

5. 理解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。

6. 了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7. 理解冪級(jí)數(shù)的收斂域、收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域的求法。

8. 了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

9. 了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。

10. 掌握一些常見(jiàn)函數(shù)如ex、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)α等的麥克勞林展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。

11. 會(huì)利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式進(jìn)行近似計(jì)算。

12.了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷定理，會(huì)將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在[0，l]上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)將周期為2l的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。

13. 了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，會(huì)判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。

（八）常微分方程

考試內(nèi)容

常微分方程的基本概念 變量可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的某些微分方程 可降價(jià)的高階微分方程 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程 歐拉（Euler）方程 微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 簡(jiǎn)單的常系數(shù)線性微分方程組的解法 微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用

考試要求

1. 掌握微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2. 熟練掌握變量可分離的微分方程的解法，熟練掌握解一階線性微分方程的常數(shù)變易法。

3. 會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換求解某些微分方程。

4. 會(huì)用降階法解下列方程：y(n) =f(x)，y″ =f(x，y′ )和y″ =f(y，y′ )

5. 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。了解解二階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法。

6. 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7. 會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

8. 會(huì)解歐拉方程。

9. 了解微分方程的冪級(jí)數(shù)解法。

10.了解簡(jiǎn)單的常系數(shù)線性微分方程組的解法。

11 會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

五. 主要參考文獻(xiàn)

《高等數(shù)學(xué)》（上、下冊(cè)），同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一個(gè)版本均可。?