專(zhuān)家指導(dǎo)：高考數(shù)學(xué)綜合題解題思路點(diǎn)撥
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2010-05-26 11:02
????復(fù)習(xí)要點(diǎn)
????1．切實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)，提高解題操作技能。
????2．注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的理解和掌握。
????數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中。高考試題中，對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的考查也蘊(yùn)含在其中，很少直接表達(dá)。數(shù)學(xué)思想包括：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、化歸與轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)思維方法主要包括分析法、綜合法、歸納法、演繹法、觀察法、試驗(yàn)法、特殊化法等等，數(shù)學(xué)方法主要指配方法、換元法、待定系數(shù)法、比較法、割補(bǔ)法等一些具體方法。
????3．高考綜合題重點(diǎn)考查的幾種的能力。
????（1）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，這是指通過(guò)閱讀理解以前沒(méi)有學(xué)過(guò)的新的數(shù)學(xué)知識(shí)（包括新的概念、定理、公式、法則等），能運(yùn)用它們作進(jìn)一步的運(yùn)算推理，解決有關(guān)問(wèn)題的能力。
????（2）探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力是指運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)通過(guò)觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、類(lèi)比、演繹、歸納、分析、綜合、猜想等手段，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探索和研究的能力。
????（3）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力指正確理解問(wèn)題的背景，分析實(shí)際問(wèn)題給出的信息，進(jìn)行提煉加工，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題。
????（4）數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力指的是運(yùn)用已知信息開(kāi)展數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，并產(chǎn)生某些新穎的有創(chuàng)見(jiàn)的能力。
????題型解析
????下面就江蘇高考綜合題的熱點(diǎn)題型作一分析，談?wù)勥@些問(wèn)題的解題思路，供同學(xué)們作參考之用。
????一、函數(shù)與不等式
????函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線(xiàn)，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)有：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、極值等。通過(guò)函數(shù)圖像，加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，深化數(shù)形結(jié)合的思想。
????不等式不僅是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是繼續(xù)深造的重要基礎(chǔ)，所以不等式一直都是高考命題的重點(diǎn)之一。內(nèi)容主要包括：不等式的性質(zhì)、不等式的證明、不等式的解法、不等式的應(yīng)用。不等式和數(shù)學(xué)其他模塊聯(lián)系緊密，是重要的數(shù)學(xué)工具，將基本不等式和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題相結(jié)合的數(shù)學(xué)綜合題在高考中有加強(qiáng)的趨勢(shì)。
????點(diǎn)評(píng)：?本題也可由數(shù)形結(jié)合求解，但不易說(shuō)理，這里用分離變量法得出不等式①，再由t的存在性求出m的最大值。
????二、等差數(shù)列和等比數(shù)列
????等差數(shù)列和等比數(shù)列是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，要熟練掌握其定義、通項(xiàng)公式和求和公式，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，并會(huì)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列定義解題。
????三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
????中學(xué)數(shù)學(xué)引入導(dǎo)數(shù)這一內(nèi)容后，研究函數(shù)性質(zhì)方便了很多，如函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值、零點(diǎn)均可用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究，導(dǎo)數(shù)的幾何意義為曲線(xiàn)在某點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，其物理意義為瞬時(shí)變化率，導(dǎo)數(shù)作為工具還可用以證明不等式，與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題也是當(dāng)前高考的熱點(diǎn)。
????點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵在懂得求最優(yōu)解的基礎(chǔ)上，要密切注意在那里取到最優(yōu)解，并弄清楚線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)與邊界線(xiàn)的斜率應(yīng)該滿(mǎn)足什么關(guān)系。（其中當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與邊界線(xiàn)重合時(shí)可以有無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解）。
????四、與圓有關(guān)的問(wèn)題
????確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立的條件，“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”是解題的基本方法。而解決直線(xiàn)與圓的綜合問(wèn)題時(shí)，一方面，我們要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法（即幾何問(wèn)題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)的計(jì)算，使問(wèn)題得到解決；另一方面由于直線(xiàn)與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密（其中直線(xiàn)與三角形、四邊形緊密相連），因此我們要勤動(dòng)手，準(zhǔn)確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件（性質(zhì)），利用幾何知識(shí)使問(wèn)題能夠較為簡(jiǎn)捷地得到解決。
????點(diǎn)評(píng)：本題的解法充分抓住圓的幾何性質(zhì)，通過(guò)等腰直角三角形建立等式，又利用直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)建立不等式，從而求出參數(shù)t的范圍。問(wèn)題中的量與參數(shù)變化有關(guān)，當(dāng)這些量受某些條件制約時(shí)，參數(shù)范圍會(huì)受到限制，這類(lèi)問(wèn)題常通過(guò)建立等式及不等式組成的式組解決。
????1．切實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)，提高解題操作技能。
????2．注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的理解和掌握。
????數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中。高考試題中，對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的考查也蘊(yùn)含在其中，很少直接表達(dá)。數(shù)學(xué)思想包括：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、化歸與轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)思維方法主要包括分析法、綜合法、歸納法、演繹法、觀察法、試驗(yàn)法、特殊化法等等，數(shù)學(xué)方法主要指配方法、換元法、待定系數(shù)法、比較法、割補(bǔ)法等一些具體方法。
????3．高考綜合題重點(diǎn)考查的幾種的能力。
????（1）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，這是指通過(guò)閱讀理解以前沒(méi)有學(xué)過(guò)的新的數(shù)學(xué)知識(shí)（包括新的概念、定理、公式、法則等），能運(yùn)用它們作進(jìn)一步的運(yùn)算推理，解決有關(guān)問(wèn)題的能力。
????（2）探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力是指運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)通過(guò)觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、類(lèi)比、演繹、歸納、分析、綜合、猜想等手段，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探索和研究的能力。
????（3）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力指正確理解問(wèn)題的背景，分析實(shí)際問(wèn)題給出的信息，進(jìn)行提煉加工，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題。
????（4）數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力指的是運(yùn)用已知信息開(kāi)展數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，并產(chǎn)生某些新穎的有創(chuàng)見(jiàn)的能力。
????題型解析
????下面就江蘇高考綜合題的熱點(diǎn)題型作一分析，談?wù)勥@些問(wèn)題的解題思路，供同學(xué)們作參考之用。
????一、函數(shù)與不等式
????函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線(xiàn)，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)有：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、極值等。通過(guò)函數(shù)圖像，加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，深化數(shù)形結(jié)合的思想。
????不等式不僅是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是繼續(xù)深造的重要基礎(chǔ)，所以不等式一直都是高考命題的重點(diǎn)之一。內(nèi)容主要包括：不等式的性質(zhì)、不等式的證明、不等式的解法、不等式的應(yīng)用。不等式和數(shù)學(xué)其他模塊聯(lián)系緊密，是重要的數(shù)學(xué)工具，將基本不等式和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題相結(jié)合的數(shù)學(xué)綜合題在高考中有加強(qiáng)的趨勢(shì)。
????點(diǎn)評(píng)：?本題也可由數(shù)形結(jié)合求解，但不易說(shuō)理，這里用分離變量法得出不等式①，再由t的存在性求出m的最大值。
????二、等差數(shù)列和等比數(shù)列
????等差數(shù)列和等比數(shù)列是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，要熟練掌握其定義、通項(xiàng)公式和求和公式，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，并會(huì)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列定義解題。
????三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
????中學(xué)數(shù)學(xué)引入導(dǎo)數(shù)這一內(nèi)容后，研究函數(shù)性質(zhì)方便了很多，如函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值、零點(diǎn)均可用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究，導(dǎo)數(shù)的幾何意義為曲線(xiàn)在某點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，其物理意義為瞬時(shí)變化率，導(dǎo)數(shù)作為工具還可用以證明不等式，與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題也是當(dāng)前高考的熱點(diǎn)。
????點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵在懂得求最優(yōu)解的基礎(chǔ)上，要密切注意在那里取到最優(yōu)解，并弄清楚線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)與邊界線(xiàn)的斜率應(yīng)該滿(mǎn)足什么關(guān)系。（其中當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與邊界線(xiàn)重合時(shí)可以有無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解）。
????四、與圓有關(guān)的問(wèn)題
????確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立的條件，“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”是解題的基本方法。而解決直線(xiàn)與圓的綜合問(wèn)題時(shí)，一方面，我們要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法（即幾何問(wèn)題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)的計(jì)算，使問(wèn)題得到解決；另一方面由于直線(xiàn)與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密（其中直線(xiàn)與三角形、四邊形緊密相連），因此我們要勤動(dòng)手，準(zhǔn)確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件（性質(zhì)），利用幾何知識(shí)使問(wèn)題能夠較為簡(jiǎn)捷地得到解決。
????點(diǎn)評(píng)：本題的解法充分抓住圓的幾何性質(zhì)，通過(guò)等腰直角三角形建立等式，又利用直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)建立不等式，從而求出參數(shù)t的范圍。問(wèn)題中的量與參數(shù)變化有關(guān)，當(dāng)這些量受某些條件制約時(shí)，參數(shù)范圍會(huì)受到限制，這類(lèi)問(wèn)題常通過(guò)建立等式及不等式組成的式組解決。
